DamienPremière · spé maths
Produit scalaire : quelle formule utiliser, et quand ?
Le produit scalaire a plusieurs formules, et c'est ce qui perd les élèves. Le secret : choisir la bonne selon les informations de l'énoncé.
Les formules, et quand les utiliser
| Formule | À utiliser quand… |
|---|---|
| u⃗ · v⃗ = xx′ + yy′ | On a les coordonnées (repère orthonormé) |
| u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ) | On a les longueurs et l'angle |
| AB⃗ · AC⃗ = AB × AH | On connaît le projeté orthogonal H de C sur (AB) |
| u⃗ · v⃗ = ½(‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²) | On a seulement des longueurs |
Orthogonalité : u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗ · v⃗ = 0.
Al-Kashi : dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â).
Montrer que deux droites sont perpendiculaires en 3 étapes
ÉTAPE 01
Choisir deux vecteurs
Un vecteur directeur de chaque droite, par exemple AB⃗ et CD⃗.
ÉTAPE 02
Calculer leurs coordonnées
Puis le produit scalaire avec xx′ + yy′.
ÉTAPE 03
Conclure
Si le résultat vaut 0, les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites sont perpendiculaires.
Les pièges qui font perdre des points
- Utiliser xx′ + yy′ sans repère orthonormé.
- Le signe : un produit scalaire peut être négatif (angle obtus), ce n'est pas une erreur.
- Confondre vecteur et longueur : AB⃗ · AB⃗ = AB², mais AB⃗ n'est pas un nombre.
- Oublier la conclusion géométrique (« donc les droites sont perpendiculaires »).
Et en Terminale ?
Le produit scalaire revient en géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation de plan, orthogonalité. La représentation paramétrique d'une droite tombe dans 30 des 33 sujets de BAC 2025-2026.