Terminale · spé maths

Convexité : étudier une fonction avec la dérivée seconde

La convexité arrive presque toujours en fin d'exercice sur les fonctions. Bonne nouvelle : c'est la même méthode que pour les variations, un cran plus loin.

Ce qu'il faut savoir

f est convexe sur un intervalle si f″ ≥ 0 sur cet intervalle (f′ croissante, courbe au-dessus de ses tangentes).
f est concave si f″ ≤ 0 (f′ décroissante, courbe en dessous de ses tangentes).
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : f″ s'annule en changeant de signe.

La méthode en 3 étapes

ÉTAPE 01

Calculer f″

Dériver f′, puis factoriser au maximum pour pouvoir étudier le signe.

ÉTAPE 02

Étudier le signe de f″

Tableau de signes, comme pour f′ dans l'étude des variations.

ÉTAPE 03

Conclure

f″ ≥ 0 : convexe ; f″ ≤ 0 : concave ; changement de signe : point d'inflexion.

Les pièges qui font perdre des points

Confondre convexe et concave. Moyen mnémotechnique : convexe, la courbe « sourit » (f″ positive).
« f″ s'annule, donc point d'inflexion » : il faut un changement de signe.
Lire le mauvais graphique : si l'énoncé donne la courbe de f′, la convexité de f se lit dans les variations de f′, pas dans son signe.